Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）求S1 ， S2 ， S3 ， S4并猜想Sn的表達式（不必寫出證明過程）；
（2）設bn= ，n∈N*，求bn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．∴ =1，解得S2= ．

同理可得：S3= ，S4= ．

猜想Sn=

（2）解：由（1）可得：n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ．

bn= = = = ≤ ，n∈N*，

b5= ，b6= ．

∴bn的最大值為

【解析】（1）a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．可得 =1，解得S2 ． 同理可得：S3 ， S4 ． 猜想Sn= ．（2）由（1）可得：n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ．可得bn= = ，利用基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和歸納推理的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理才能正確解答此題．