Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限.

若，，求直線的方程；

若，點(diǎn)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】；證明見解析.

【解析】

設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義知，，設(shè)，列式聯(lián)立求出，直線AB的斜率為，進(jìn)而寫出直線的方程；

若，則拋物線，準(zhǔn)線，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得消得，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而求出，即可求證.

解：設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義知，

，設(shè)，，由題設(shè)知，

，，

解得，則，，即，①

又由拋物線的定義知，，即，②

聯(lián)立①②，解得，或，

，∴，則，

焦點(diǎn)為，，

則直線的斜率為，

故直線的方程為；

證明：若，則拋物線，

，準(zhǔn)線，

設(shè)直線的方程為，

，，，

由消去得，，

則，，

則

又，，

故直線，，的斜率成等差數(shù)列.