Question

已知圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁，圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂，一動圓與這兩個圓都外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）若過點M₂的直線與（1）中所求軌跡有兩個交點A、B，求|AM₁|•|BM₁|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩圓相外切，兩圓心距離等于兩圓半徑的和，得到|PM₁|-|PM₂|=4；利用雙曲線的定義及雙曲線方程的形式，
求出動圓圓心P的軌跡方程．
（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，通過根與系數(shù)的關系及判別式求出斜率k的范圍；利用雙曲線的定義將AM₁|•|BM₁|的取值范圍表示成k的函數(shù)，求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵|PM₁|-5=|PM₂|-1，∴|PM₁|-|PM₂|=4
∴動圓圓心P的軌跡是以M₁、M₂為焦點的雙曲線的右支．
c=4，a=2，b²=12，
故所求軌跡方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）．
（2）當過M₂的直線傾斜角不等于

π

2

時，設其斜率為k，
直線方程為y=k（x-4）
與雙曲線3x²-y²-12=0聯(lián)立，消去y化簡得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＞0，x₂＞0
由

x1+x2= 8k2 k2-3 ＞0 x1x2= 16k2+12 k2-3 ＞0 △=64k4+16(3-k2)(4k2+3)＞0

解得k²＞3．
由雙曲線左準線方程x=-1且e=2，有|AM₁|•|BM₁|=e|x₁+1|•e|x₂+1|=4[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]
=4（

16k2+12

k2-3

+

8k2

k2-3

+1）=100+

336

k2-3

∵k²-3＞0，∴|AM₁|×|BM₁|＞100
又當直線傾斜角等于

π

2

時，A（4，y₁），B（4，y₂），|AM₁|=|BM₁|=e（4+1）=10
|AM₁|•|BM₁|=100故|AM₁|•|BM₁|≥100．

點評：本題考查求動點軌跡方程的方法：定義法．考查兩圓相切的性質(zhì)、雙曲線的定義．
考查解決直線與圓錐曲線問題常用將方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關系．