Question

設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，結(jié)合和角公式化簡(jiǎn)可求cosB，進(jìn)一步可求B，
（II）由（I）可得B=

π

3

，C=

2

3

π-A由△ABC為銳角三角形，可得

0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2 .

從而可得 A的范圍，而sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A），利用差角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)可得

3

sin(A+

π

6

)，從而可求．

解答：解：（I）由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=

π

3

，得C=

2

3

π-A．
又△ABC為銳角三角形，
∴

0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2 .

∴

π

6

＜A＜

π

2

．
sinA+sinC=sinA+sin(

2

3

π-A)=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)．
又A+

π

6

∈(

π

3

，  

2

3

π)，
∴sin(A+

π

6

)∈(

3

2

，  1]．
∴sinA+sinC∈(

3

2

，  

3

]．

點(diǎn)評(píng)：（I）考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，及特殊角的三角函數(shù)值
（II）本題的關(guān)鍵是由△ABC為銳角三角形，建立關(guān)于A的不等式，進(jìn)而求出A的范圍，而輔助角公式的應(yīng)用可以把不同名的三角函數(shù)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．