Question

設(shè)銳角三角形ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a²+b²-c²=ab．
（1）求∠C的度數(shù)；  （2）求∠A的取值范圍； （3）求sinA+sinB的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知的等式代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由第一問求出C的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到A+B的度數(shù)，再由三角形為銳角三角形，即可得到A的范圍；
（3）由第二問得到的A與B的關(guān)系式，用B表示出A，代入所求的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，同第二問的方法求出由B的范圍，得到這個(gè)角的范圍，求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，可得出所求式子的范圍．

解答：解：（1）∵a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C為三角形的內(nèi)角，
則C=60°；
（2）∵C=60°，
∴A+B=120°，又△ABC為銳角三角形，
∴30°＜A＜90°；
（3）由A+B=120°，得到A=120°-B，
∴sinA+sinB=sin（120°-B）+sinB
=sin120°cosB-cos120°sinB+sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB
=

3

（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

sin（B+30°），
又30°＜B＜90°，∴60°＜B+30°＜120°，
∴

3

2

＜sin（B+30°）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+30°）≤

3

，
則sinA+sinB的取值范圍是（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．