Question

（2013•寧波二模）如圖，設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過準線l上一點M（-1，0）且斜率為k的直線l₁交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若|MA|•|MB|=λ|FD|•|FE|，試寫出λ關于k的函數(shù)解析式，并求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，-

1

2

p=-1可求p，進而可求拋物線方程
（Ⅱ）設l₁方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由

y=k(x+1) y2=4x

整理可得關于y的方程，結合△=16-16k²＞0，可求k的范圍，然后結合方程的根與系數(shù)關系可求y₁+y₂，y₁y₂，代入可求x₁+x₂，x₁x₂及P，從而可求|MA||MB|及直線PF的方程，由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

得關于y的方程，同理可求y₃+y₄，y₃y₄，代入直線方程得x₃+x₄，x₃x₄，可求|FD||FE|，由題設建立等式，則可以由k表示λ，結合函數(shù)的單調(diào)性可求λ的范圍

解答：解：（Ⅰ）-

p

2

=-1，p=2，拋物線方程為y²=4x．   …（4分）

（Ⅱ）設l₁方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由

y=k(x+1) y2=4x

得ky²-4y+4k=0，△=16-16k²＞0，所以k∈（-1，0）∪（0，1），
y1+y2=

4

k

，y1•y2=4，
代入方程得：x1+x2=

4

k2

-2，x1•x2=1，P(

2

k2

-1，

2

k

)…（6分）
所以|MA|•|MB|=

MA

•

MB

=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4(1+

1

k2

)，…（8分）
且直線PF方程為y=

k

1-k2

(x-1)，
由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

得ky²-4（1-k²）y-4k=0，
則得y3+y4=

4(1-k2)

k

，y3y4=-4，
代入直線方程得x3+x4=

4(1-k2)2

k2

+2，x3•x4=1，
所以|FD|•|FE|=(x3+1)(x4+1)=

4(1-k2)2

k2

+4，…（10分）
則λ=

1+k2

k4-k2+1

，…（12分）
令t=k²+1，則t∈（1，2）λ=

t

(t-1)2-t+2

=

t

t2-3t+3

而

t

t2-3t+3

=

1

t+ 3 t -3

在（1，

3

）單調(diào)遞增，在（

3

，2）單調(diào)遞減
所以λ∈(1，

2 3 +3

3

]                 …（14分）

點評：本題主要考查 了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程及直線與拋物線相交關系的應用，方程的根與系數(shù)關系的應用是求解問題的關鍵