Question

過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解析:

本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。（14分）

解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

由消去x可得

從而有                                             ①

于是                                    ②

又由，可得                  ③

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線

此時(shí) ①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得

上式恒成立，即對(duì)任意成立

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

同理可證直線也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O

又設(shè)則

（2）當(dāng)得對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間之外

此時(shí)

由

①         若

于是

②         若，則，

于是

綜上，對(duì)任意的b、c都有

而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值

故對(duì)任意的b，c恒成立的k的最大值為