【題目】如圖,在三棱錐中,
為
中點,
在平面
內(nèi)的射影
在
上,
,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)推導(dǎo)出平面
,平面
平面
,從而
,
,利用線面垂直的判定定理,即可得到
面
;
(2)以為原點,向量
的方向分別為
軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系
,求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
詳解:(1)因為在平面
內(nèi)的射影
在
上,所以
平面
.
因為平面
,所以平面
平面
.
又平面平面
,
平面
,
,
所以平面
.因為
平面
,所以
.
由已知易得 ,又
,所以
,
在三角形中,由余弦定理得,
所以,于是
,且
·
又,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)在平面內(nèi)過
作
,則
平面
.以
為原點,向量
的方向分別為
軸、
軸、
軸的正方向,
建立空間直角坐標(biāo)系為計算簡便,不妨設(shè)
,
則,
,
,
·
所以,
.
顯然是平面
的一個法向量.
設(shè)是平面
的法向量,
則,即
·
令,得
.
設(shè)二面角的大小為
(
為銳角).
所以.
所以二面角的余弦值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的莖葉圖記錄了華潤萬家在渭南城區(qū)甲、乙連鎖店四天內(nèi)銷售情況的某項指標(biāo)統(tǒng)計:
(I)求甲、乙連鎖店這項指標(biāo)的方差,并比較甲、乙該項指標(biāo)的穩(wěn)定性;
(Ⅱ)每次都從甲、乙兩店統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機各選一個進行比對分析,共選了3次(有放回選。O(shè)選取的兩個數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)某種型號的電視機零配件,為了預(yù)測今年月份該型號電視機零配件的市場需求量,以合理安排生產(chǎn),工廠對本年度
月份至
月份該型號電視機零配件的銷售量及銷售單價進行了調(diào)查,銷售單價
(單位:元)和銷售量
(單位:千件)之間的
組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | ||||||
銷售單價 | ||||||
銷售量 |
(1)根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù),求
關(guān)于
的線性回歸方程(系數(shù)精確到
);
(2)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,假設(shè)該型號電視機零配件的生產(chǎn)成本為每件元,那么工廠如何制定
月份的銷售單價,才能使該月利潤達到最大(計算結(jié)果精確到
)?
參考公式:回歸直線方程,其中
.
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌計算機售后保修期為1年,根據(jù)大量的維修記錄資料,這種品牌的計算機在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%,需要維修2次的占6%,需要維修3次的占4%.
(1)某人購買了一臺這個品牌的計算機,設(shè)=“一年內(nèi)需要維修k次”,k=0,1,2,3,請?zhí)顚懴卤恚?/span>
事件 | ||||
概率 |
事件是否滿足兩兩互斥?是否滿足等可能性?
(2)求下列事件的概率:
①A=“在1年內(nèi)需要維修”;
②B=“在1年內(nèi)不需要維修”;
③C=“在1年內(nèi)維修不超過1次”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點F為拋物線C:x2=2py (p>0) 的焦點,點A(m,3)在拋物線C上,且|AF|=5,若點P是拋物線C上的一個動點,設(shè)點P到直線的距離為
,設(shè)點P到直線
的距離為
.
(1)求拋物線C的方程;
(2) 求的最小值;
(3)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圓上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
倍,得曲線
.
寫出
的參數(shù)方程;
設(shè)直線
與
的交點為
,以坐標(biāo)原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段
的中點且與
垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中嘗試進行課堂改革.現(xiàn)高一有兩個成績相當(dāng)?shù)陌嗉,其?/span>
班級參與改革,
班級沒有參與改革.經(jīng)過一段時間,對學(xué)生學(xué)習(xí)效果進行檢測,規(guī)定成績提高超過
分的為進步明顯,得到如下列聯(lián)表.
進步明顯 | 進步不明顯 | 合計 | |
| |||
| |||
合計 |
(1)是否有的把握認(rèn)為成績進步是否明顯與課堂是否改革有關(guān)?
(2)按照分層抽樣的方式從班中進步明顯的學(xué)生中抽取
人做進一步調(diào)查,然后從
人中抽
人進行座談,求這
人來自不同班級的概率.
附:,當(dāng)
時,有
的把握說事件
與
有關(guān).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)點到點
的距離和到直線
的距離之比為
,若動點P的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程;
(II)過F的直線與C交于A,B兩點,點M的坐標(biāo)為
設(shè)O為坐標(biāo)原點.證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中,為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度,該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績,并將其統(tǒng)計如下表所示.
根據(jù)上表數(shù)據(jù)統(tǒng)計,可知考試成績落在之間的頻率為
.
(Ⅰ)求m、n的值;
(Ⅱ)已知本歡質(zhì)檢中的數(shù)學(xué)測試成績,其中
近似為樣本的平均數(shù),
近似為樣本方差
,若該市有4萬考生,試估計數(shù)學(xué)成績介于
分的人數(shù);
以各組的區(qū)間的中點值代表該組的取值
Ⅲ
現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在
以及
之間的學(xué)生中隨機抽取12人,再從這12人中隨機抽取4人進行試卷分析,記被抽取的4人中成績在
之間的人數(shù)為X,求X的分布列以及期望
.
參考數(shù)據(jù):若,則
,
,
.
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