Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2) 由題意知對(duì)任意，恒成立，，又由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以只需：，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）由.令得，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.

綜上所述，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）由題意知對(duì)任意，

恒成立，，

又由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以只需：

，

設(shè).

∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.

注意到，所以，當(dāng)不等式（1）成立；當(dāng)時(shí)不等式（1）不成立.

又，∴當(dāng)不等式（1）也成立，

所以，時(shí)不等式（1）成立.此時(shí)，不等式（2）也成立，而當(dāng)時(shí)，

，由函數(shù)的性質(zhì)知，不等式（2）不成立.

綜上所述，不等式組的解為.

又∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.