Question

【題目】如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）不過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)．

【解析】

（1）把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和圓半徑，寫出直線方程，由直線與圓相切可求得，再由得，從而可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）利用得，從而與軸不垂直，可設(shè)其方程為，代入橢圓方程得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)（直線的方程為），寫出直線的方程，整理為形式可知其是否過定點(diǎn)．

（Ⅰ）解：將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

圓的圓心為，半徑

由，得直線，即，

由直線與圓相切，得，∴

∴，∴橢圓的方程為；

（Ⅱ）證明：∵，∴，從而直線與坐標(biāo)軸不垂直，

由可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為

將代入橢圓的方程，整理得：，

解得或，因此的坐標(biāo)為，

即

將上式中的換成，得

∴直線的斜率為

直線的方程為

化簡得直線的方程為，因此直線過定點(diǎn)．