Question

已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）,

（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn).線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為且直線MN與點(diǎn)E的軌跡相切，求橢圓的方程.

Answer 1

解析：（1）設(shè)E（x，y），=（+）

∴=2-.

∴=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).

又||=2,

∴x²+y²=1(y≠0).

（2）設(shè)橢圓方程為：=1，直線 l：y=k(x+2),

由于直線l與圓E相切，

∴=1.∴k=±.

直線l：y=± (x+2).

將y=±(x+2)代入b²x²+a²y²-a²b²=0,

則有（3b²+a²）x²+4a²x+4a²-3a²b²=0.

∴x_M+x_N=.

∴x_中=,

|x_中|==,

∴5a²=6b²+2a².

∴a²=2b².

又c²=4,

∴b²=4,a²=8,橢圓方程為=1.