Question

設(shè)λ＞0，不等式組 

x≤2 λx-y≥0 x+2λy≥0

所表示的平面區(qū)域是W．給出下列三個結(jié)論：
①當(dāng)λ=1時，W的面積為3；
②?λ＞0，使W是直角三角形區(qū)域；
③設(shè)點P（x，y），對于?P∈W有x+

y

λ

≤4．
其中，所有正確結(jié)論的序號是

①、③

．

Answer 1

分析：①利用線性規(guī)劃確定三角形的面積即可．②利用直線垂直的條件判斷．③設(shè)z=x+

y

λ

，則y=-λx+λz，利用線性規(guī)劃的知識求z的最大值即可．

解答：解：①當(dāng)λ=1時，不等式組為

x≤2 x-y≥0 x+2y≥0

，解得三角形的三個交點為（0，0），（2，2），（2，-1），所以三角形的面積為

1

2

×2×3=3，所以①正確．
②因為直線λx-y=0的斜率為λ，直線x+2λy=0的斜率為-

1

2λ

，所以λ•(-

1

2λ

)=-

1

2

≠-1，所以區(qū)域W不可能是直角三角形區(qū)域，所以②錯誤．
③設(shè)z=x+

y

λ

，則y=-λx+λz，平移直線y=-λx+λz，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A時，直線y=-λx+λz，的截距最大，此時z最大，由

x=2 λx-y=0

解得

x=2 y=2λ

，即A（2，2λ）．代入z=x+

y

λ

，的z的最大值為2+

2λ

λ

=2+2=4，所以?P∈W有x+

y

λ

≤4成立，所以③正確．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查不等式的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃的內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵．