Question

已知，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)上的最小值；
（3）求證：.

Answer 1

（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（3）見解析.

試題分析：（1）由題意知在上恒成立.
根據(jù)，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求時(shí)，的最大值.
（2）當(dāng)時(shí)，則.
根據(jù)，分別得到的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050442618430.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
因此，要討論①當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，③當(dāng)時(shí)等三種情況下函數(shù)的最小值.
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，從而
可得 ，
故利用



（1）由題意知在上恒成立.
又，則在上恒成立，
即在上恒成立. 而當(dāng)時(shí)，，所以，
于是實(shí)數(shù)的取值范圍是.                     4分
（2）當(dāng)時(shí)，則.
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.   6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050442618430.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
①當(dāng)，即時(shí)，在[]上單調(diào)遞減，
所以
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以
③當(dāng)時(shí)，在[]上單調(diào)遞增，所以.
綜上，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.              9分
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以
可得                 11分
于是



                               14分