Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（2，-1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�

• A．2x+3y-4=0
• B．（x-

  1

  2

  ）²+（y-1）²=25
• C．4x+3y-5=0（-1≤x≤2）
• D．3x-y+8=0（-1≤x≤2）

Answer 1

分析：設(shè)C（x，y），根據(jù)題意得到用x、y表示α、β的方程組，結(jié)合α+β=1消去α、β得4x+3y-5=0．再由0≤α、β≤1，解出x的取值范圍，可得點(diǎn)C的軌跡方程．

解答：解：設(shè)C（x，y），可得

OC

=（x，y）
∵點(diǎn)A（2，-1）、B（-1，3），
∴由

OC

=α

OA

+β

OB

，得

x=2α-β y=-α+3β

，解得

α= 1 5 (3x+y) β= 1 5 (x+2y)

，
又∵α+β=1，∴兩式聯(lián)解，消去α、β得4x+3y-5=0．
∵0≤α≤1且0≤β≤1，
∴0≤

1

5

(3x+y)≤1，0≤

1

5

(x+2y)≤1，解得1≤x≤2．
由此可得點(diǎn)C的軌跡方程為4x+3y-5=0（-1≤x≤2）．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)C滿足的向量等式，求點(diǎn)C的軌跡方程．著重考查了向量的線性運(yùn)算、直線的方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．