Question

（2012•成都模擬）成都某中學(xué)2011年進(jìn)行評(píng)定高級(jí)職稱工作時(shí)，數(shù)學(xué)組、語文組各有2人夠資格，能評(píng)上高級(jí)職稱的可能性分別為

2

3

和

1

2

，且每個(gè)人是否評(píng)上互不影響．
（I）求這兩個(gè)組至少有1人評(píng)上的概率；
（II）求數(shù)學(xué)組評(píng)上的人數(shù)ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（I）設(shè)A_k表示數(shù)學(xué)組評(píng)上k人（k=0，1，2），設(shè)B_i表示語文組評(píng)上i人（i=0，1，2）且每個(gè)事件之間為相互獨(dú)立事件，又此問根據(jù)題意正面所包含的事件太多，利用正難則反的原則，可以根據(jù)對(duì)立事件來求解即可；
（II）利用隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量的期望的定義即可求值．

解答：解：設(shè)A_k表示數(shù)學(xué)組評(píng)上k人（k=0，1，2），設(shè)B_i表示語文組評(píng)上i人（i=0，1，2）．
P（A_k）=

C

k 2

（

2

3

）^k（

1

3

）^2-k，P（B_i）=

C

i 2

（

1

2

）ⁱ（

1

2

）^2-i=

C

i 2

（

1

2

）²．
（I）P=1-P（A₀•B₀）=1-P（A₀）•P（B₀）=1-（

1

3

）²（

1

2

）²=

35

36

；
（II）由題意ξ～B（2，

2

3

）
∴期望Eξ=2×

2

3

=

4

3

，方差Dξ=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

，
答：（I）這兩個(gè)組至少有1人評(píng)上的概率是

35

36

；
（II）數(shù)學(xué)組評(píng)上的人數(shù)ξ的期望Eξ=2×

2

3

=

4

3

，方差Dξ=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，還考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的定義及其概率公式及學(xué)生的理解題意的能力，屬于中檔題．