Question

【題目】已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：

， ．

其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和．

若對(duì)于任意的，總有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì)．

（Ⅰ）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合和．

（Ⅱ）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明．

（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，相應(yīng)集合， ，集合， （Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】解：集合不具有性質(zhì)．

集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，

．

（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)．

因?yàn)?/span>，所以；

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， ．

從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，

即．

（III）解： ，證明如下：

（1）對(duì)于，根據(jù)定義， ， ，且，從而．

如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立．

故與也是的不同元素．

可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，

（2）對(duì)于，根據(jù)定義， ， ，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也不至少有一個(gè)不成立，

故與也是的不同元素．

可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，

由（1）（2）可知， ．