Question

與正方體ABCD-A₁B₁C₁E₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點(diǎn)①有且只有1個(gè)； ②有且只有2個(gè)；③有且只有3個(gè)； ④有無數(shù)個(gè)．其中正確答案的序號是

 

．

Answer 1

分析：由于點(diǎn)D、B₁顯然滿足要求，猜想B₁D上任一點(diǎn)都滿足要求，然后想辦法利用空間坐標(biāo)系證明結(jié)論．

解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)該正方體的棱長為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點(diǎn)P，
因?yàn)?

DB1

=（1，1，1），
所以設(shè)P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足為E，再作EF⊥A₁D₁，垂足為F，
則PF是點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離．
所以PF=

a2+(1-a)2

；
同理點(diǎn)P到直線AB、CC₁的距離也是

a2+(1-a)2

．
所以B₁D上任一點(diǎn)與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離都相等，
所以與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．
故答案為：④．

點(diǎn)評：本題主要考查合情推理的能力及空間中點(diǎn)到線的距離的求法．解答的關(guān)鍵是畫出在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，借助坐標(biāo)系中坐標(biāo)的計(jì)算解決圖形問題．