Question

（文）已知復(fù)數(shù)z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，若|z|=

3 2

4

．
（1）求證：tgA•tgB=

1

9

；
（2）若|AB|=6，當(dāng)∠C最大時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|z|²=

9

8

，利用兩角和差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)可得9sinA•sinB=cosA•cosB，從而得到tgA•tgB=

1

9

．
（2）由（1）可得 tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)，利用基本不等式可得tgC≤-

3

4

，求出tgC取最大值時(shí)△ABC
底邊上的高h=

1

2

|AB|•tgA=1，從而求得S_△ABC 的值．

解答：解：（1）由題意可得 |z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3 3

4

]2，…（2分）
∴

5

4

•

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=

1

9

． …（6分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA•tgB

=-

3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)tgA=tgB=

1

3

時(shí)，tgC最大，即∠C最大…（9分）
此時(shí)△ABC是等腰三角形，且底邊上的高h=

1

2

|AB|•tgA=1，
則S_△ABC=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的三角函數(shù)，求復(fù)數(shù)的模的方法，基本不等式的應(yīng)用，求出tgC的最大值，是解題的難點(diǎn)．