Question

設(shè)a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)已知常數(shù)ω＞0，若y＝f(ωx)在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；

(3)設(shè)集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求實數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f(x)＝2sinx＋1（2）ω∈（3）m∈(1，4)

【解析】(1)f(x)＝sin2·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·＋cos2x

＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，所以所求解析式為f(x)＝2sinx＋1.

(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，

得f(ωx)的增區(qū)間是，k∈Z.

∵f(ωx)在上是增函數(shù)，∴.

∴－≥－且≤，∴ω∈.

(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.

∵AB，∴當(dāng)≤x≤時，

不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，

∵f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2，∴m∈(1，4)．