Question

        在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q.

   （I）求軌跡C的方程；

   （II）當(dāng)時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn).

Answer 1

（I）（II）且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)

解析:

（1）的距離之和是4，

的軌跡C是長軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為的橢圓，

其方程為 …………3分

  （2）將，代入曲線C的方程，

整理得 

                   …………5分

因?yàn)橹本�與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，

所以①

設(shè)，則

  ②         …………7分

且③

顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），

所以

由

將②、③代入上式，整理得       …………10分

所以

即經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①

當(dāng)b=2k時(shí)，直線的方程為

顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)（-2，0）點(diǎn).

即直線經(jīng)過點(diǎn)A，與題意不符.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為

顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)A.

綜上，k與b的關(guān)系是：

且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)                 …………13分