Question

【題目】設(shè)橢圓長軸長為4，右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），連接并延長交橢圓于點(diǎn)，若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求解即可求得結(jié)果；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，用參數(shù)表示的面積；根據(jù)向量關(guān)系，求得，再利用對勾函數(shù)單調(diào)性求面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)的最大值即可.

（1）由題意可得，

所以橢圓方程為．

（2）由（1）知，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得．

設(shè)，，

則，．

因?yàn)?/span>，

故可得四邊形為平行四邊形，則，

又，

故．

設(shè)，，

則，

令，故可得，

當(dāng)時，恒成立，故在單調(diào)遞增，

故在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，即時，

四邊形的面積取得最大值．