【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:
①函數(shù)的最小值為
,最大值為9;
②且
;
③若函數(shù)在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù),則
的最大值為2.
試探究并解決如下問題:
(Ⅰ)求,并求
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的圖象的對稱軸方程;
(Ⅲ)設(shè)是函數(shù)
的零點,求
的值的集合.
【答案】(Ⅰ);
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由函數(shù)的最值結(jié)合三角函數(shù)的最值可求得
,
;由函數(shù)
在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù),則
的最大值為2,可得
,根據(jù)
即可得
;由
且
,可得
,驗證即可得
;再由函數(shù)周期性即可得
;
(Ⅱ)由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可令,化簡即可得解;
(Ⅲ)由題意可得,進而可得
,
或,或
,化簡后代入
,分別求解即可.
(Ⅰ)因為,
,
所以,
,
所以,
.
所以.
設(shè)的最小正周期為
,
因為在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù),則
的最大值為2,
所以,所以
,所以
即
,
所以.
因為,所以
,
所以,即
.
因為,所以
或
.
若,則
,此時
,不合題意;
若,則
,此時
,符合題意;
所以.
所以.
因為的最小正周期為4,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
令,得
.
所以函數(shù)的對稱軸方程是
.
(Ⅲ)令,則
,所以函數(shù)
的零點都滿足:
或
.
因為,
是函數(shù)
的零點,所以
,
或,或
,
即,或
,
或.
所以,
或,
或.
故的值的集合為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過點
,
,且圓心
在直線
上,過點
作直線
與圓
:
交于兩點
,
.
(1)求圓的方程;
(2)當時,若
于圓
交于
,
且
,求直線
的方程;
(3)若點恰好是線段
的中點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,四邊形CC1D1D為矩形,已知AB⊥BC1,AD=4,AB=2,BC=1.
(I)求證:BC1∥平面ADD1;
(II)若DD1=2,求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值;
(III)設(shè)P為線段C1D上的一個動點(端點除外),判斷直線BC1與直線CP能否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1642年,帕斯卡發(fā)明了一種可以進行十進制加減法的機械計算機年,萊布尼茨改進了帕斯卡的計算機,但萊布尼茲認為十進制的運算在計算機上實現(xiàn)起來過于復(fù)雜,隨即提出了“二進制”數(shù)的概念
之后,人們對進位制的效率問題進行了深入的研究
研究方法如下:對于正整數(shù)
,
,我們準備
張不同的卡片,其中寫有數(shù)字0,1,…,
的卡片各有
張
如果用這些卡片表示
位
進制數(shù),通過不同的卡片組合,這些卡片可以表示
個不同的整數(shù)
例如
,
時,我們可以表示出
共
個不同的整數(shù)
假設(shè)卡片的總數(shù)
為一個定值,那么
進制的效率最高則意味著
張卡片所表示的不同整數(shù)的個數(shù)
最大
根據(jù)上述研究方法,幾進制的效率最高?
A. 二進制 B. 三進制 C. 十進制 D. 十六進制
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時,我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究,在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:
具體過程如下:
如圖,在平面直角坐標系內(nèi)作單位圓O,以
為始邊作角
.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A,B.
則
由向量數(shù)量積的坐標表示,有:
設(shè)的夾角為θ,則
另一方面,由圖3.1—3(1)可知,;由圖可知,
.于是
.
所以,也有
,
所以,對于任意角有:
(
)
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角
的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記作
.
有了公式以后,我們只要知道
的值,就可以求得
的值了.
閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:
(1)判斷是否正確?(不需要證明)
(2)證明:
(3)利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】恩格爾系數(shù)(記為)是指居民的食物支出占家庭消費總支出的比重.國際上常用恩格爾系數(shù)來衡量一個國家和地區(qū)人民生活水平的狀況.聯(lián)合國對消費水平的規(guī)定標準如下表:
家庭類型 | 貧窮 | 溫飽 | 小康 | 富裕 | 最富裕 |
實施精準扶貧以來,根據(jù)對某山區(qū)貧困家庭消費支出情況(單位:萬元)的抽樣調(diào)查,2018年每個家庭平均消費支出總額為2萬元,其中食物消費支出為1.2萬元預(yù)測2018年到2020年每個家庭平均消費支出總額每年的增長率約是30%,而食物消費支出平均每年增加0.2萬元,預(yù)測該山區(qū)的家庭2020年將處于( )
A.貧困水平B.溫飽水平C.小康水平D.富裕水平
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
底面
,
.
、
分別為
和
的中點.
為側(cè)棱
上的動點.
(Ⅰ)求證: 平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)試判斷直線與平面
是否能夠垂直.若能垂直,求
的值;若不能垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠每月生產(chǎn)一種投影儀的固定成本為萬元,但每生產(chǎn)
臺,需要加可變成本(即另增加投入)
萬元,市場對此產(chǎn)品的月需求量為
臺,銷售的收入函數(shù)為
(萬元)
且
,其中
是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺).
(1)求月銷售利潤(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量
(百臺)的函數(shù)解析式;
(2)當月產(chǎn)量為多少時,銷售利潤可達到最大?最大利潤為多少?
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