Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1和定點(diǎn)P(2，

1

2

)．
（1）求過(guò)點(diǎn)P且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程；
（2）雙曲線C上是否存在A，B兩點(diǎn)，使得

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)成立？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=2符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

，代入雙曲線方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0，再分類(lèi)討論，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)符合題意，根據(jù)

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可得P(2，

1

2

)為中點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，可求k=1，此時(shí)方程的△＜0．

解答：解：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=2符合題意，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

代入雙曲線方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0
當(dāng)4k²-1=0，即k=±

1

2

時(shí)，方程有唯一解，滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線方程為：x-2y-1=0，x+2y-3=0
當(dāng)4k²-1≠0，即k≠±

1

2

時(shí)，令△=0，可得k=

5

8

，此時(shí)直線方程為：5x-8y-6=0
故過(guò)點(diǎn)P且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為x-2y-1=0，x+2y-3=0，5x-8y-6=0，x=2
（2）設(shè)存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)符合題意，
∵

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴P(2，

1

2

)為中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=1
同（1）知x₁，x₂是方程（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0的兩根，
∴x1+x2=

k(16k-4)

4k2-1

，
∴

k(16k-4)

4k2-1

=4，
∴k=1
此時(shí)方程為3x²-12x+13=0，△＜0，故k=1不符合題意，所以符合題意的直線AB不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，要注意判別式的驗(yàn)證．