Question

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：

x2

4

-

y2

3

=1．設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若

AM

=2

MB

，則直線l的斜率為

±

1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)直線AB方程為y=kx+1，與雙曲線方程聯(lián)解得（3-4k²）x²-8kx-16=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=

8k

3-4k2

且x₁x₂=

-16

3-4k2

，根據(jù)

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂，將三個(gè)式子聯(lián)解，即可得到直線l的斜率．

解答：解：設(shè)直線AB方程為y=kx+1，與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1消去y，
得（3-4k²）x²-8kx-16=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2= 8k 3-4k2 x1x2= -16 3-4k2

…（1）
∵

AM

=2

MB

，可得x₁=-2x₂，∴代入（1）得

-x2= 8k 3-4k2 -2x22= -16 3-4k2

，
消去x₂得-2（

8k

3-4k2

）²=

-16

3-4k2

，解之得k²=

1

4

，得k=±

1

2

故答案為：±

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交雙曲線于AB兩點(diǎn)，在已知

AM

=2

MB

的情況下求直線的斜率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．