Question

某食品廠定期購買面粉．已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元．
（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？
（2）若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210 t時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠（即原價(jià)的90%），問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）每天所支付的費(fèi)用是每x天購買粉的費(fèi)用與保存面粉的費(fèi)用及每次支付運(yùn)費(fèi)和的平均數(shù)，故可以設(shè)x天購買一次面粉，將平均數(shù)表示成x的函數(shù)，根據(jù)所得的函數(shù)的具體形式求其最小值即可．
（2）每天費(fèi)用計(jì)算的方式與（1）相同，故設(shè)隔x天購買一次面粉，將每天的費(fèi)用表示成x的函數(shù)，由于此時(shí)等號(hào)成立的條件不具備，故本題最值需要通過函數(shù)的單調(diào)性來探究．本題中函數(shù)的單調(diào)性的證明用定義法證明，獲知其單調(diào)性后利用單調(diào)性求出最小值，然后用函數(shù)的最小值與（1）中的最小值對比，若比其小，則可利用此優(yōu)惠條件，否則仍采用原來方案．

解答：解：（1）設(shè)該廠應(yīng)每x天購買一次面粉，其購買量為6xt，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為3[6x+6（x-1）+…+6×2+6×1]=9x（x+1）．
設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y₁元，則y₁=

1

x

[9x（x+1）+900]+6×1800
=

900

x

+9x+10809≥2

900 x •9x

+10809
=10989．
當(dāng)且僅當(dāng)9x=

900

x

，即x=10時(shí)取等號(hào)，
即該廠應(yīng)每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少．
（2）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y₂元，則
y₂=

1

x

[9x（x+1）+900]+6×1800×0.90
=

900

x

+9x+9729（x≥35）．
令f（x）=x+

100

x

（x≥35），
x₂＞x₁≥35，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

100

x1

）-（x₂+

100

x2

）
=

(x2-x1)(100-x1x2)

x1x2

∵x₂＞x₁≥35，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，100-x₁x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）=x+

100

x

，當(dāng)x≥35時(shí)為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=35時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)y₂＜10989．∴該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型的能力，以及根據(jù)具體的函數(shù)模型求最值，利用計(jì)算出的數(shù)據(jù)指導(dǎo)解決實(shí)際問題，此類問題的一般步驟是：先依據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型，再依據(jù)相關(guān)函數(shù)模型進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，得出運(yùn)算結(jié)果，最后將運(yùn)算結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問題中去．本題在求解函數(shù)的最值時(shí)在（1）中用的是基本不等式求最值，在（2）中用的函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值．在求解最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)具體的形式選擇求最值的方法．