Question

【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2 ，M，N分別是CC1 ， BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且 ．

（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC=2， ，∴AB2+AC2=BC2，

∴AB⊥AC，即AB、AC、AA1兩兩相互垂直．

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

則A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．

∵ ，∴P（2λ，0，2），∴ =（1﹣2λ，1，﹣2）. ，

∴ ．

∴無論λ取何值，AM⊥PN．

（2）∵ =（0，0，1）是平面ABC的一個法向量．

∴ = ．

∴當(dāng)λ= 時，θ取得最大值，

此時sinθ= ，cosθ= ，tanθ=2．

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出 ， 的坐標(biāo)，只需證明 即可；（2）顯然平面ABC的法向量為 =（0，0，1），根據(jù)sinθ=|cos＜ ， ＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tanθ．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn))，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．