Question

在拋物線y²=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線BC方程x=-ky+m，，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點(diǎn)，應(yīng)用中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．

解答：解：設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，故可設(shè)直線BC方程為x=-ky+m，代入y²=4x，得 y²+4ky-4m=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則 BC中點(diǎn)M（x₀，y₀），則y₀=

y1+y2

2

=-2k，x₀=2k²+m．
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線l上，∴-2k=k（2k²+m）+3，∴m=-

2k3+2k+3

k

．
又∵BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，∴△=16k²+16m＞0．
把m代入化簡(jiǎn)得

k3+2k+3

k

＜0，即

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0，解得-1＜k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．