Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+cx滿足：①函數(shù)f（x）在x₁、x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=2；②函數(shù)f（x）的圖象過點（1，-2）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求過點P（1，-2）與函數(shù)f（x）的圖象相切的直線方程；
（3）設f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m之差M-m為g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x₁、x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=2，確定c=-3a，利用函數(shù)f（x）的圖象過點（1，-2），可得-2=a+c，從而可求f（x）的表達式；
（2）設出切點坐標，可得切線方程，代入（1，-2），即可得出結論；
（3）確定函數(shù)的極值，分類討論，求出函數(shù)的最值，即可得出g（t）的表達式．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0得x=±

- c 3a

∴|x1-x2|=2

- c 3a

=2
∴c=-3a①
∵函數(shù)f（x）的圖象過點（1，-2），
∴-2=a+c②
∴由①②解得a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x…（4分）
（2）∵f'（x）=3x²-3
設切點坐標為(x0，x03-3x0)
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)…（6分）
∵切線過P（1，-2）
∴-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0)
解之得x0=1，x0=-

1

2

∴過點P（1，-2）與函數(shù)f（x）的圖象相切的切線方程為：y=-2或9x+4y-1=0．  …（8分）
（3）f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，x=±1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		2		-2

所以，f（x）_極大=2，f（x）_極小=f（1）=-2．…（10分）
若f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，必須有t+2≤-1或t≥1，
當t≤-3時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=M-m=6t²+12t+2，
令f（t+2）=f（t），6t²+12t+2=0，t=-1±

6

3

，
當-3＜t≤-1-

6

3

時，m=f（t），M=2，g（t）=-t³+3t+2，
當-1-

6

3

＜t≤-1時，m=f（t+2），M=2，g（t）=-t³-6t²-9t，
當-1＜t≤-1+

6

3

，m=-2，M=f（t），g（t）=t³-3t+2，
當-1+

6

3

＜t≤1時，m=-2，M=f（t+2），g（t）=t³+6t²+9t+4，
當t＞1時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=6t²+12t+2．
∴g(t)=

6t2+12t+2 (t≤-3) -t3+3t+2 (-3＜t≤-1- 6 3 ) -t3-6t2-9t (-1- 6 3 ＜t≤-1) t3-3t+2 (-1＜t≤-1+ 6 3 ) t3+6t2+9t+4 (-1+ 6 3 ＜t≤1) 6t2+12t+2 (t＞1)

…（16分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．