Question

已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為側(cè)面AB₁的中心，F(xiàn)為棱A₁D₁的中點(diǎn)，試計(jì)算：
（1）

EF

•

FC1

；
（2）求證EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁與面CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：以AB，AD，AA₁的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)
（1）求出

EF

與

FC1

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出

EF

•

FC1

．
（2）根據(jù)直線垂直的坐標(biāo)表示，由題，可通過(guò)證明

EF

•

AB1

=0，

EF

•

B1C

=0證明EF⊥面AB₁C
（3）ED₁與面CD₁所成角的正弦值 等于

ED1

與平面CD₁所成角的余弦值的絕對(duì)值，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可．

解答：解：以AB，AD，AA₁的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)互AO為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）
（1）

EF

=(-2，2，2)，

FC1

=(4，2，0)

EF

•

FC1

=-4
（2）∵

EF

•

AB1

=0，

EF

•

B1C

=0∴EF⊥AB₁EF⊥B₁C
從而EF⊥面AB₁C
（3）

ED1

=-(-2，4，2)面CD₁的法向量可取

AD

=(0，4，0)，設(shè)ED₁與面CD₁所成的角為θ
則sinθ=

| ED1 - AD  |

| ED1 |•| AD  |

=

16

2 6 ×4

=

6

3

cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

故所求角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量坐標(biāo)表示空間直線和直線、直線和平面的位置關(guān)系，空間角的求解．利用空間向量坐標(biāo)，降低了思維難度，等多的需要代數(shù)運(yùn)算．要求具有良好的轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力．