Question

已知棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為側面AB₁的中心，F(xiàn)為棱A₁D₁的中點，試計算：
（1）；
（2）求證EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁與面CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

解：以AB，AD，AA₁的方向為x軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標互AO為坐標原點，A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F(xiàn)的坐標分別為（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）
（1）
（2）∵∴EF⊥AB₁EF⊥B₁C
從而EF⊥面AB₁C
（3）面CD₁的法向量可取，設ED₁與面CD₁所成的角為θ
則
故所求角的余弦值為．
分析：以AB，AD，AA₁的方向為x軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標
（1）求出的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標表示求出．
（2）根據(jù)直線垂直的坐標表示，由題，可通過證明證明EF⊥面AB₁C
（3）ED₁與面CD₁所成角的正弦值 等于與平面CD₁所成角的余弦值的絕對值，再利用同角三角函數(shù)基本關系式求解即可．
點評：本題考查空間向量坐標表示空間直線和直線、直線和平面的位置關系，空間角的求解．利用空間向量坐標，降低了思維難度，等多的需要代數(shù)運算．要求具有良好的轉化、計算的能力．