Question

在四面體ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn)A距離為

2 3

3

的點(diǎn)形成一條曲線，則這條曲線的長(zhǎng)度是（　�。�

• A、

  3

  3

  π
• B、

  3

  π
• C、

  5 3

  6

  π
• D、

  3

  2

  π

Answer 1

分析：先求出DG、DH的長(zhǎng)，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出∠DAG、∠DAH，得到∠CAG=∠HAB 的大小，弧長(zhǎng)公式求得  

GF

=

HE

、以及 

GH

、

EF

 的大小，這條曲線的長(zhǎng)度是

GF

+

HE

+

GH

+

EF

．

解答：解：如圖 勾股定理求出DG=

12 9 -1

=

3

3

=DH，
tan∠DAG=

DG

DA

=

3

3

，∴∠DAG=

π

6

=∠DAH，
∴∠CAG=∠HAB=

π

4

-

π

6

=

π

12

，
∴由弧長(zhǎng)公式得  

GF

=

HE

=

π

12

×

2 3

3

=

3 π

18

，

GH

=

π

2

×

3

3

=

3 π

6

，
∴這條曲線的長(zhǎng)度是

GF

+

HE

+

GH

+

EF

=

3 π

18

+

3 π

18

+

3 π

6

+

π

3

×

2 3

3

=

3 π

2

．
故答案為

3 π

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用．本題中這條曲線是以A為球心，以

2 3

3

為半徑的球與四面體表面的交線．