Question

20．（本小題滿(mǎn)分14分）

已知圓和橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為．為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn)．
（Ⅰ）求值和橢圓的方程；
（Ⅱ）圓上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

，圓上存在點(diǎn)或或，使
為等腰三角形．         

20．解：（Ⅰ）由題可知，                …………………………1分
，，
，又，                ……………………………3分
法一：為圓的切線，，，
設(shè)，則有，
，              …………………5分
又，，，
所以橢圓的方程為  …………6分
法二：為圓的切線，，，
設(shè)，則有，，             …………………5分
又，，，         …………6分
法三：為圓的切線，則圓心到直線的距離等于，
又，，
，              ……………………………5分
又，，，       ……………6分
（Ⅱ）法一：假設(shè)存在點(diǎn)，使為等腰三角形，
則點(diǎn)滿(mǎn)足…………①，           ………………7分
下面分三種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，
有，即…………②
由①②聯(lián)立得：，                  ……………………………9分
（2）當(dāng)時(shí)，
有，即…………③
由①③聯(lián)立得：，            …………………………11分
（3）當(dāng)時(shí)，
有，即…………④
由①④聯(lián)立得：，又，       …………………13分
綜上，圓上存在點(diǎn)或或，使
為等腰三角形．                         …………………14分
法二：假設(shè)存在點(diǎn)，使為等腰三角形，下面分三種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，
關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓上，
                ………………8分
（2）當(dāng)時(shí)，，
又圓的直徑為，為圓的直徑，
此時(shí)由、及中點(diǎn)公式得；  …………………11分
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有

，              ………………………13分
綜上，圓上存在點(diǎn)或或，使
為等腰三角形．                      …………………………14分