Question

已知數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}，數(shù)列{a_n}的前n項和記為s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1（n≥1），點（3^5n-4•a_n，b_n）在對數(shù)函數(shù)y=log₃x的圖象上．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

3

bn•bn+1

，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求使Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），兩式相減可得a_n+1與a_n的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求a_n，進而可求b_n
（2）由cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，考慮利用裂項求和求出T_n，代入已知不等式即可求解滿足條件的m

解答：解（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又a₂=2s₁+1=3，所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
所以an=3n-1，
所以bn=log3(35n-4•an)=log3(35n-4•3n-1)=6n-5(n∈N*)…．（7分）
（2）∵cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…..（9分）
所以Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)…..（11分）
因此，使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)成立的m必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，滿足要求的最小整數(shù)m為10…..（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項公式中的應(yīng)用及等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的簡單綜合