Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若Q是曲線C上的動點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲線C：，直線l：；（2）.

【解析】

（1）將參數(shù)方程變?yōu)?/span>，兩式平方相加即可；利用兩角差的正弦公式展開，再根據(jù)，代換即可求解.

（2）設(shè)，將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

（1）消去參數(shù)a，可得曲線C的普通方程為.

可化為，

由，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為.

（2）設(shè)，

將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為，

因為M為線段PQ的中點(diǎn)，所以，

所以點(diǎn)M到直線l的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

所以點(diǎn)M到直線l的距離的最大值為.