Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求的長；
（2）求cos（）的值；
（3）求證A1B⊥C1M．

Answer 1

【答案】解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．
（1）依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴||==
（2）依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．
∴=(1,-1,2)，=(0,1,2)，=3，||=，||=
∴cos＜>==
（3）證明：依題意得C1（0，0，2），M(,,2)=（﹣1，1，﹣2），=(,,0)，
∴=-+=0
∴

【解析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我們可以以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．
（1）求出B點N點坐標(biāo)，代入空間兩點距離公式，即可得到答案；
（2）分別求出向量 ， 的坐標(biāo)，然后代入兩個向量夾角余弦公式，即可得到cos＜>的值；
（3）我們求出向量 ， 的坐標(biāo)，然后代入向量數(shù)量積公式，判定兩個向量的數(shù)量積是否為0，若成立，則表明A1B⊥C1M.