Question

【題目】如圖，在底面邊長為、高為的正六棱柱展廳內(nèi)，長為，寬為的矩形油畫掛在廳內(nèi)正前方中間.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)游客在上看油畫的縱向視角（即）最大時，求與油畫平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】

（1）連結(jié)，，可證，，即可得到面，從而得證；

（2）在矩形中，設(shè)，，則，，利用兩角差的正切公式表示出，再利用基本不等式求出的最值，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，，則就是與面所成的角，再由勾股定理計(jì)算可得；

解：（1）連結(jié)，，因在正六棱柱中，

底面是正六邊形，，

又，所以，

則，，

因是矩形，所以，

又，所以，

又，面，面，

所以面，又面，

所以平面平面.

（2）在矩形中，設(shè)，，

又，，

，，

，

，當(dāng)時等號成立.

所以，故當(dāng)時，即，最大.

過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，.

在正六棱柱中，

面，面，所以面面，

面面，，面，

所以面，則為在面內(nèi)的射影，

故就是與面所成的角.

在中，，，所以，

在中，，，所以，

在中，，，

所以，所以.

故游客在上看油畫的縱向視角最大時，與油畫平面所成的角為.