Question

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）是定值，定值為．

試題分析：（1）利用橢圓的離心率為 ，短軸一個端點到右焦點的距離為，建立方程組，即可求橢圓C的方程；（2）分類討論，①當(dāng)軸時，得②當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，利用韋達定理，及以AB弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，則有，得，再利用點到直線的距離公式，即可求得結(jié)論．
解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意   ，  
所求橢圓方程為．
（2）設(shè)，．
①當(dāng)軸時，設(shè)方程為：，此時兩點關(guān)于軸對稱，
又以為直徑的圓過原點，設(shè)代人橢圓方程得：
②當(dāng)與軸不垂直時，
設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，
整理得，
，．
又。
由以為直徑的圓過原點，則有。 即： 故滿足：   得：  
所以=。又點到直線的距離為：。
綜上所述：點到直線的距離為定值．