Question

如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面PBC．
（1）證明：平面PAC丄平面PBC；
（2）設(shè)PA=

3

，AC=1，求A點(diǎn)到平面PCB的距離．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，知BC⊥AC，由PA⊥BC，知BC⊥平面PAC，由此能夠證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，過A點(diǎn)作PC的垂線，垂足為D，在Rt△PAC中，由PA=

3

，AC=1，知PC=2，由此能求出A點(diǎn)到平面PCB的距離．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，
∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴過A點(diǎn)作PC的垂線，垂足為D，
在Rt△PAC中，PA=

3

，AC=1，∴PC=2，
由AD×PC=PA×AC，
∴AD=

PA×AC

PC

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴A點(diǎn)到平面PCB的距離為

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間總是為平面問題．