【題目】已知函數(shù)
．
(Ⅰ)當(dāng)
時，討論函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若對任意的
和
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可； (Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為
，
，
恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)
的取值范圍即可．
解：(Ⅰ)當(dāng)
時，
，
當(dāng)
時，
在
上恒成立，函數(shù)
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)
時，由得：
；由
得：
．
∴當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間：
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
．
(Ⅱ)對任意的
和
，
恒成立等價于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：
，，，
則
得
，
由此可得：
在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)
時，
，即
又∵，
∴實數(shù)的取值范圍是：
．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】圓
的方程為：
，
為圓上任意一點，過作
軸的垂線，垂足為
，點
在
上，且
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
、
兩點，點
的坐標(biāo)為
，
的面積為
，求的最大值，及直線
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
依次滿足
（1）求點
的軌跡；
（2）過點
作直線
交以
為焦點的橢圓于
兩點，線段
的中點到
軸的距離為
，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點
的坐標(biāo)為
，是否存在橢圓上的點
及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線
都相切，如存在，求出點坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)
的單調(diào)性；
設(shè)
，對任意
的恒成立，求整數(shù)
的最大值；
求證：當(dāng)
時，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為
，且成績分布在
，分?jǐn)?shù)在
以上（含）的同學(xué)獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取
人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.
（1）求
的值，并計算所抽取樣本的平均值
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）填寫下面的
列聯(lián)表，能否有超過
的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”？
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 |
| ||
不獲獎 | |||
合計 |
|
附表及公式：
，其中
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率；先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0、1、2、3表示沒有擊中目標(biāo)， 4、5、6、7、8、9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)以下數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：
（1）求頻率分布直方圖中
的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）和眾數(shù)；
（3）從成績在
的學(xué)生中任選3人，求這3人的成績都在
中的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，過橢圓E：
（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓E于P，Q兩點，點A，B是橢圓E的頂點，且AB∥OP，F2為右焦點，△PF2Q的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點，若△OCD的面積為
，求直線l的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=
CP，D是CP的中點，將△PAD沿AD折起，使點P到達(dá)點P′的位置得到圖（二），點M為棱P′C上的動點．
（1）當(dāng)M在何處時，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；
（2）若AB=2，∠P′DC=135°，證明：點C到平面P′AD的距離等于點P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．
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