Question

已知函數(shù)f（x）bx³+ax²-3x
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，求a，b的值；
（2）若f（x）為實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且b≥-1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），試求出點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用f（x）在x=1和x=3處取得極值是導(dǎo)函數(shù)方程的兩個(gè)根，建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立關(guān)系式，最后利用定積分表示出所圍成圖形的面積即可．

解答：解：（1）f（x）=bx³+ax²-3x，f′（x）=3bx²+2ax-3
∵f（x）在x=1和x=3處取得極值
∴x=1和x=3是f′（x）=3bx²+2ax-3=0的兩個(gè)根
代入方程解之得a=2，b=-

1

3

（2）當(dāng)b=0時(shí)，由f（x）在R上單調(diào)知a=0
當(dāng)b≠0時(shí)，由f（x）在R上單調(diào)⇒f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
f′（x）=3bx²+2ax-3∴△=4a²+36b≤0可得b≤-

1

9

a²
∴面積S=

∫

3 -3

(1-

1

9

x2)dx=4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及單調(diào)性，同時(shí)考查了利用定積分求圍成圖形的面積，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于中檔題．