Question

已知函數(shù)f（x）=

bx+c

x+1

的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1），易知c=0，即f(x)=

bx

x+1

．又函數(shù)f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對稱，所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由題意an+1=[f(

an

)]2，開方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，得出數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．通過數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點(diǎn)，
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函數(shù)f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對稱，
所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由題意an+1=[f(

an

)]2，開方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，
即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合題．考查分式函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列通項(xiàng)公式求解．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，運(yùn)算求解能力．