Question

f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，
（1）若a＞b試比較f（x）與f（b）的大�。�
（2）解不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)；
（3）若-1≤c≤2，證明f（x-c）與f（x-c²）存在公共的定義域．

Answer 1

分析：（1）直接作差根據(jù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)得到f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

(a-b)＞0
即可說(shuō)明結(jié)論；
（2）直接根據(jù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)以及第一問(wèn)的結(jié)論把不等式轉(zhuǎn)化為：

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

，再解不等式組即可得到結(jié)論；
（3）先求出兩個(gè)函數(shù)各自的定義域，再通過(guò)作差比較看兩個(gè)定義域是否有重合部分即可．

解答：解：（1）a＞b則a-b＞0，又f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

(a-b)＞0
∴f（a）＞f（b）
（2）f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）?

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

?-

1

2

≤x≤

5

4

證明（3）由

-1≤x-c≤1 -1≤x- c2≤1

?

c-1≤x≤c+1 c2-1≤x≤c2+1

此不等式組有解⇒c-1≤c²-1≤c+1≤c²+1 ①
或c²-1≤c-1≤c²+1≤c+1　　　　　　�、�
由①得：-1≤c≤0，1≤c≤2，此時(shí)有公共定義域[c²-1，c+1]
由②得：0≤c≤1，此時(shí)有公共定義域[c-1，c²+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)以及第一問(wèn)的結(jié)論把不等式轉(zhuǎn)化為：

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

．