Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，滿足f（a•b）=af（b）+bf（a）．又已知f(2)=2，an=

f(2n)

n

，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)，考查下列結論：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a₂是a₁，a₃的等比中項；④b₂是b₁，b₃的等差中項．其中正確的是

①③④

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：令a=b=0，得f（0）=f（0•0）=0，可知①正確；
令a=b=1，得f（1）=f（1•1）=2f（1），f（1）=0；又令a=b=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=2f（-1），
得f（-1）=0，可知②不正確；
由f（2）=2，則f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，得b_n=b_n-1+1，{b_n}是等差數(shù)列，故④正確；
又b₁=1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，則a_n=2ⁿ，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，故③正確．

解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0，∴①正確；
又f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②錯；
又∵f（2）=2，∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，∴b_n=

f(2n)

2n

=

2f(2n-1) +2n

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1
即b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差數(shù)列，故④正確；
又b₁=

f(2)

2

=1，∴b_n=1+（n-1）×1=n，∴f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，∴a_n=2ⁿ，∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，故③正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，主要涉及了函數(shù)的賦值法，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項公式的計算等知識．