Question

第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分.
如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.
（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；
（2）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，求證：數(shù)列是“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；
（3）對于一個(gè)不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論并說明理由.

Answer 1

（1）a=6,m=5；（2）見解析；（3）

本試題主要考查了數(shù)列的運(yùn)用。
解：（1）因?yàn)閿?shù)列：1,2,4(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項(xiàng)，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮等差數(shù)列
若 
即對數(shù)列中的任意一項(xiàng)
-------------------6分
同理可得：若，也成立，
由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是 “兌換數(shù)列”；-------------------8分
又因?yàn)閿?shù)列所有項(xiàng)之和是B，所以，即------10分
（3）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，設(shè)它的公比為q,(q>1)，
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以

又因?yàn)閿?shù)列為“兌換數(shù)列”，則，所以是正整數(shù)
故數(shù)列必為有窮數(shù)列，不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)，------------------12分
則----------14分
①   n=3則有，又，由此得q=1，與q>1矛盾；-------------------15分
②若。由，
即()，故q=1，與q>1矛盾；-------------------17分
綜合①②得，不存在滿足條件的數(shù)列。-------------------18分