Question

由下面四個(gè)圖形中的點(diǎn)數(shù)分別給出了四個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng),將每個(gè)圖形的層數(shù)增加可得到這四個(gè)數(shù)列的后繼項(xiàng).按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”，將構(gòu)圖邊數(shù)增加到可得到“邊形數(shù)列”，記它的第項(xiàng)為，

1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）      求使得的最小的取值；
（2）      試推導(dǎo)關(guān)于、的解析式；
( 3) 是否存在這樣的“邊形數(shù)列”,它的任意連續(xù)兩項(xiàng)的和均為完全平方數(shù),若存在,指出所有滿足條件的數(shù)列并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解: (1),                                           3分
由題意得,
所以,最小的.                                            5分
(2)設(shè)邊形數(shù)列所對應(yīng)的圖形中第層的點(diǎn)數(shù)為,則
從圖中可以得出:后一層的點(diǎn)在條邊上增加了一點(diǎn),兩條邊上的點(diǎn)數(shù)不變,
所以,
所以是首項(xiàng)為1公差為的等差數(shù)列,
所以.(或等)         13分
(3)                          16分
顯然滿足題意,                                           17分
而結(jié)論要對于任意的正整數(shù)都成立,則的判別式必須為零,
所以,,                                       19分
所以,滿足題意的數(shù)列為“三角形數(shù)列”.

略