Question

如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，，求的值；

Answer 1

本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．

解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：

，化簡得．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：

．

設(shè)，，又，

聯(lián)立方程組，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

=

=

．

解法二：（Ⅰ）由得：，

=0

，

．

所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．

（Ⅱ）由已知，，得．

則：．…………①

過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，

則有：．…………②

由①②得：，即．