Question

已知函數(shù)定義域?yàn)?img width=44 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/158/128158.gif">(),設(shè).

(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

(Ⅱ)求證:；

(Ⅲ)求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù).

Answer 1

，且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意

解析:

【解】 (Ⅰ)解:因?yàn)?img width=321 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/174/128174.gif">…………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則……………………………(5分)

(Ⅱ)證:因?yàn)?img width=36 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/162/128162.gif">在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………(9分)

 從而當(dāng)時(shí),,即………………………(10分)

(Ⅲ)證:因?yàn)?img width=109 height=44 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/196/128196.gif">,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)…………………………………………(12分)

   因?yàn)?img width=251 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/2/128202.gif">,,所以

   ①當(dāng)時(shí),,所以在上有解,且只有一解 …(13分)

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………(14分)

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解………………………………(15分)

綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意……(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù))

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