Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知點(diǎn)和函數(shù)圖像上動(dòng)點(diǎn),對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0或?qū)��?shù)小于0，得到關(guān)于x的不等式，解之即可；注意解不等式時(shí)要結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖象來解；
（2）因?yàn)閷θ我?/span>m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導(dǎo)函數(shù)小于0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′（x）＜0恒成立，通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f（m）＜1在區(qū)間[1，e]上恒成立，再通過研究f（x）在[1，e]上的單調(diào)性求最值，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果即可解決問題．注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，

當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，解得故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閷θ我獾?/span>，直線傾斜角都是鈍角，即對任意的， ，即，即.

因?yàn)?/span>，令，

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知， 在上單調(diào)遞減，則由，故,此時(shí)滿足.

（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，即,函數(shù)在上單調(diào)遞增，故的最大值為，解得與矛盾.

當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故的最大值為，得,此時(shí).

當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在的最大值為或，

所以，即，故，綜上， 的取值范圍為.