Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)是圓： 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和相交于點(diǎn).

（I）求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于點(diǎn)， 兩點(diǎn)，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不重合. 是軌跡上的一點(diǎn)，若的面積是4，試問(wèn)直線(xiàn)， 的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，否則，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線(xiàn)， 的斜率之積是定值

【解析】試題分析：（I）由題意得，利用橢圓的定義，得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而得到橢圓的方程；

（II）設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立發(fā)出來(lái)，求解，設(shè)所在直線(xiàn)方程為，聯(lián)立橢圓方程得的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，根據(jù)面積列出方程，得到的方程，即可求解的值.

試題解析：

（I）由題意， ，又∵

∴，

∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，

∴橢圓的方程為.

（II）設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立，得

∴

設(shè)所在直線(xiàn)方程為，聯(lián)立橢圓方程得或，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

∴，

即，解得，

∴直線(xiàn)， 的斜率之積是定值