Question

已知函數(shù)f（x）=

(2x-x2)ex，x≤0 -x2+4x+3，x＞0

，g（x）=f（x）+2k，若函數(shù)g（x）恰有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,分段函數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由g（x）=0，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的極值問題，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由g（x）=f（x）+2k=0，即f（x）=-2k，
當(dāng)x≤0時，f（x）=（2x-x²）e^x，
則f'（x）=（2-x²）e^x，由f'（x）=（2-x²）e^x=0，解得x=-

2

，
當(dāng)x=-

2

時，函數(shù)f（x）取得極小值f（-

2

）=-2(1+

2

)e-

2

，
當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+4x+3=-（x-2）²+7≤7，
作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可知，要使f（x）=-2k有恰有兩個不同的交點，
則滿足3＜-2k＜7，-2(1+

2

)e-

2

=-2k，
即-

7

2

＜k＜-

3

2

或k=

2 +1

e 2

，
當(dāng)k=0時，f（x）=-2k，有兩個交點，滿足條件．
故答案為：（-

7

2

，-

3

2

）∪{

2 +1

e 2

}∪{0}

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判定，將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的相交個數(shù)問題是解決本題問題的基本方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值是解決本題的關(guān)鍵．